武学的数学解释

前几日李志文老师把我叫到他的办公室，让我当他的文书秘书。晚饭时，李老师让我去买了两份便当，这两份便当就是我们的晚饭。
我们在办公室里边吃边聊天。李老师知道我懂些武术，便和我谈了一些武术的问题。李老师说他有一位朋友也懂武术，并且用科学的方法分析武术，还出了书。所谓科学，就是用数学——准确地说，是用物理学——分析、解释武术。他说，他对武术是外行，不过觉得用这样的方法分析武术很好、很对路。我说，其实早就有人做这样的分析了，而且曾经蔚然成风，不过现在好像势衰了。我可以用纯数学分析武术中的一些问题。李老师有些怀疑，就问不借助物理么？我说，不借助物理，只用纯数学的方法。李老师很感兴趣地问，练武术追求的是什么？我说，是功力。李老师又问，什么是功力？我回答说，一般人解释武术，都避不开什么是功力的问题。而且一般人回答什么是功力的问题时，都是从功力本身去思考。这是很困难的。所以至今没有一个对功力的明确的、所有人都认可的定义。我也给不出功力的定义。但我从另外一个角度思考功力。我觉得功力就像经济学里的效用。李老师问，效用是衡量Satisfication的，和功力什么关系？我回答说，我不管功力的本身是什么，我考关注的是功力的表现形式。武术的根本目的是技击，是打倒人。所以我认为功力就是打倒人的本事。两个人打架，总有一方会赢。而且，如果让他们打很多次的话，其中一方会比另外一方赢得次数多，也就是说这一方比另一方赢的概率要大。这样就可以说这一方比另一方的功力高。中国有一句谚语，说文无第一，武无第二。也就是说，文分不出第一第二，因为没有衡量的标准，你觉得这人的文章好，别人觉得那人的文章好，分不出高低。武是可以分出谁高谁低的，两个人打一架就知道了。所以说，功力是有高低之分的。我用类似于经济学中定义效用的方法定义功力，就可以用数学进行分析了。李老师说，你有想法，已经可以混饭吃了，为什么还要跟着我从头学金融会计？我说，武术只是我的爱好，乐在此，志不在此。而且我的整套分析武术的方法全是借鉴经济学。
其实，我也会用物理学、运动学、生理学、心理学等方法分析、解释武学。而且要分析、解释武学，肯定离不开这些学问。但单纯地用物理学、生理学、心理学、运动学等学问分析武学，都难免片面，都最多只能说明白怎么练，却说不明白练什么。而我想要做的是从大系统的角度看武学，说清楚武术应该练什么，怎么练，为什么这样练。
其实我跟李老师说我可以用纯数学的方法解释武学，是吹牛的。这倒并不是说数学不能解释武学，而是我的数学功底不够，对数学工具的掌握不够完备。不过我可以尝试用我已经掌握的数学知识简单地解释几个问题。由于用的工具过于简单，所以难免会有失真，会存在漏洞，而且我知道漏洞在那里。不过我的这几篇文章意不在严密地用数学解释武学，而是抛砖引玉，旨在引起高明之士的注意，让更多的高明之士沿着这条路往下走，创出辉煌的成就。说到底，我只是一个开荒者。一般来说，开荒者要么是最有本事的，要么是最没有本事的。我是后者。有本事的又有谁愿意去开荒呢？作为一个最没有本事的开荒者，我本身并不能创造出多大的价值，我只不过给别人创造出了创造价值的机会。另外，我需要说明的是，统计学在武学的数学解释中会大有用武之地，然而偏偏我不精通统计学，徒呼奈何。

一 什么是功力

什么是功力？这是任何一个想要解释武术的人都避免不了的问题。一般人回答什么是功力的问题时，都是直接从功力本身去思考的，即直接思考功力本身是什么。然而，功力只是对一种能力的定义，而且这种能力也是模糊不清的。模糊不清的概念，是没办法做出明确定义的。强行给模糊不清的概念作明确的定义，只可能，要么是以偏概全，要么是似是而非。所以至今，关于功力的定义也是众说纷纭，没有一个明确的、统一的、大家都认可的说法。从模糊不清的概念出发，想要得到一个明确的定义，这本身就是以其昏昏，使人昭昭。除了说：“道可道，非常道；名可名，非常名”、“玄之又玄，众妙之门”、“世事如禅，一说就错”之类的敷衍塞责的话外，还能说什么才能掩饰自己的无知呢？即使是一说就错，我们也还是要说的。不说又怎么知道错在哪里呢？又怎能改进呢？只是我们可以尝试换一个角度去思考，换一个角度去说，或许能说得明白些。记得李小龙曾经说：“我承认，给截拳道下个定义是困难的，甚至我也做不到。不过，虽然我们很难说清楚截拳道是什么，但我们可以说清楚截拳道不是什么。这样思考，就比较容易理解截拳道了。”李小龙的话很值得我们思考。
事实上，关于功力，我也没有能力给出一个明确的、统一的、大家都认可的定义。不过，我们也可以换一个角度思考功力。我们不直接思考功力本身是什么，我们关注功力的作用，我们从功力的表现形式入手去思考功力。我在《苦楼论拳》第一卷《习武总论》中说“拳者，搏击之术也”，“搏击者，以最小之代价，获取最大之效果也。”也就是说，武术是用来搏击的。功力描述的是搏击的能力。武术的根本目的是技击，是打倒人。所以我认为功力描述的就是打倒人的本事。
两个人打架，总有一方会赢。而且，如果让他们打很多次的话，其中一方会比另外一方赢得次数多，也就是说这一方比另一方赢的概率要大。这样就可以说这一方比另一方的功力高。中国有一句谚语，说文无第一，武无第二。也就是说，文分不出第一第二，因为没有客观的衡量的标准，纯粹看评判者的个人偏好，你觉得这人的文章好，别人觉得那人的文章好，分不出高低。武是可以分出谁高谁低的，两个人打一架就知道了。所以说，功力是有高低之分的。
根据以往的实战格斗经验，一般而言，如果甲比乙厉害，乙比丙厉害，那么甲就比丙厉害。这一点虽不绝对，在逻辑上也不能证明，但就像经济学中的效用一样，在现实世界中，一般情况下，是这样的。记得小时候玩一种动物棋，大象杀狮子，狮子杀老虎，老虎杀豹子，豹子杀狼，狼杀狗，狗杀猫，猫杀鼠，鼠又杀大象。但现实中，老鼠杀大象的例子好像并不多见。还记得小时候看西游记，哪吒打不过孙悟空，孙悟空打不过牛魔王，牛魔王又打不过哪吒。我们一般小朋友总是争论他们三个到底谁最厉害，往往争得面红耳赤也没有结果。这就是中国俗语中说的一物降一物。逻辑上说，可能会有这种情况，但现实中一般很少见。我曾说：“现实中存在的物理，逻辑中一定存在；逻辑中存在的物理，现实中不一定存在。”我们就根据现实世界的状况，假设，如果甲比乙厉害，乙比丙厉害，那么甲比丙厉害。
至此，我们可以说，功力就是对搏击能力的衡量，并且可以假设功力有两个性质：
一． 功力是可以分出高低的。
二． 如果甲比乙功力高，乙比丙功力高，那么就有甲比丙功力高。这就是功力大小的传递性。

如此看来，武学中的功力与经济学中的效用，这两个概念确实很相似。两者都模糊不清，
但又都能被感觉到。两者都不可以测量，但却都可以进行比较，也就是说可以为选择提供参考依据。两者都具有传递性，也就是说，如果甲比乙大，乙比丙大，则甲比丙大。其实两者的相似性还不止于此，两者还有更重要的一点相似的地方，那就是边际效果递减。

二 功力的六要素

我在《苦楼论拳》第一卷《习武总论》中说：“功者，不外乎速、硬、力、柔、稳、和。速者，速度也，可分为反应与动作之速也；硬者，硬度也，周身之坚也；力者，力量也，分为本力与爆发力；柔者，柔韧也；稳者，稳定也；和者，周身之协调也。”，“明六要，而知功力之深浅，曰速、硬、力、柔、稳、和。”也就是说，我认为组成功力的要素有六个，就是我所说的速、硬、力、柔、稳、和。或者说，功力就是这六个要素的综合体现。
这绝对不是我一拍脑门想出来的，是我根据多次的格斗经验总结出来的。毕竟武术是一门实用的技术，我们需要从实际中找依据。至于功力是不是就是这六个要素的综合体现，我们现在不能下完全的结论。不过，至少目前来说，根据我的经验，我认为功力就是这六个要素的综合体现。于是，我就可以假设，功力就是六个要素的综合体现。
于是，我们练功力就可以从这六个要素出发，练速度、练硬度、练力量、练柔韧、练稳定、练协调。我假设，练速度就只是练速度，练硬度就只是练硬度，练力量就只是练力量，练柔韧就只是练柔韧，练稳定就只是练稳定，练协调就只是练协调。也就是说，练速度时，只是提高速度，与其他五个要素无关，不影响其他五个要素的增减。同样地，练硬度、练力量、练柔韧、练稳定、练协调，也只是相应地提高硬度、力量、柔韧、稳定、协调，与其他五个要素无关。
当然这只是我的假设，是为了方便用数学方法来分析，不是实际的情况。实际情况是，这六个要素还是相关的，甚至有些要素的相关度还挺大。不过，在某些情况下，大体上我的假设还是接近真实情况的。前面我说过，我知道我的分析上有漏洞。由于我对数学工具掌握的不够完备，只能用一些最简单的数学工具来分析问题，在某些方面难免会失真。不过，我也说了，这篇文章的主要目的只是开荒，只是抛砖引玉，引起高明之士的关注，以期他们能在这条路上走的更远，做出辉煌的成绩。这篇文章本身的价值并不大，它的价值就是帮助别的高明之士实现价值。
除了上面的假设外，我还有一个假设，那就是当其他五个要素不变时，随着速度的增长，功力也会增长，但涨幅逐渐减少。同样地，这个假设也适用于其他五个要素。也就是说，这六个要素对功力的贡献是正向的，但边际效果递减。我在《苦楼论拳》第一卷《习武总论》中说：“盖六要之各边际效果递减之故也”，讲的就是这个假设。不过，这个假设也不是凭空而来的。空穴来风，岂会无因。这个假设也是来自于现实中的经验。
至此，关于功力的假设和性质就说完了。
不过，前面我们说，练功力就可以从这六个要素出发，练速度、练硬度、练力量、练柔韧、练稳定、练协调。那么练速度、练硬度、练力量、练柔韧、练稳定、练协调，又需要投入什么元素去练呢？也就是说，我们为了练速度、练硬度、练力量、练柔韧、练稳定、练协调，都应该付出哪些代价呢？我觉得最重要的代价就是时间。我在《苦楼论拳》第一卷《习武总论》中说，“功夫者，工夫也”，说的就是这个道理。既然如此，我就假设，为了练出速度、硬度、力量、柔韧、协调和稳定，唯一需要付出的就是时间。也就是说，时间是为了练出六要的唯一投入。而且，前面我们假设练六要中的任一要素时，都不影响其他五个要素。由于这种六要的不相关性，某一段时间一旦投入练某一要素，便不能练其他要素了。也就是说六要对于时间有排他性。
更进一步地，根据我们的经验，我们还可以假设，随着时间投入的增长，速度也在增长，但涨幅却是递减的。同样地，对于六要中的其他五个要素也同样如此，随着投入时间的增多，它们也在增长，但涨幅趋于递减。这不难理解，我们任何人都有这方面的经验。比如我以前做引体向上，开始的时候一个都做不上去。练了两天后，就能上四个了，又练了两天，能上七个了，再练两天能上九个了，再练上两天能上十个了，但以后练了很多天，都一直没有进展，这就可以证明随着时间的投入，力量是增长的，但涨幅逐渐减小。其他五个要素，我们也有同样的经验和感觉。
至此，我们可以总结一下我们关于功力和六要的几个假设。
一． 功力是速、硬、力、柔、稳、和，这六要的综合体现。
二． 速、硬、力、柔、稳、和，这六要具有不相关性。
三． 六要对功力的作用是正向的，而且边际效果递减。
四． 练六要，也就是练功力，时间是唯一的投入。
五． 六要对时间具有排他性。
六． 时间对六要的作用是正向的，而且边际效果递减。

三 数学建模与解答

现在，全部的准备工作都已经完成，剩下的就只是把前面的讨论与假设翻译成数学语言，用数学形式表达出来，并解决数学问题了。
我们先把所有假设都列出来。
一． 功力是可以分出高低的；
二． 功力的大小具有传递性；
三． 功力是六要的综合体现；
四． 六要具有不相关性；
五． 六要对于功力的作用是正向的，而且边际效果递减；
六． 练六要，时间是唯一的投入；
七． 六要对时间具有排他性；
八． 时间对六要的作用是正向的，而且边际效果递减。

首先，我们以G表示功力，以S表示速度，以Y表示硬度，以L表示力量，以R表示
柔韧，以W表示稳定，以H表示协调，以T表示投入的总时间。并分别以t1、t2、t3、t4、t5、t6表示投入速度、硬度、力量、柔韧、稳定、协调的时间。
则
G=G（S，T，L，R，W，H）;
T=t1+t2+t3+t4+t5+t6;
S=S(t1);
Y=Y(t2);
L=L(t3);
R=R(t4),
W=W(t5);
H=H(t6);

剩下的问题，就只是求G的最大值的问题了。只要学过微积分，学过偏微分的朋友都知道怎么解决。那就是用拉格朗日乘数法。为了给大家一点自己思考的机会，也为了给大家一个复习数学的机会，我决定将具体解答过程省略。

我在《苦楼论拳》第一卷《习武总论》中说，“功之六要者，不可偏废，需协调而进，乃能有大成就。此六要者协调而进而能成就者，可及混元之境也。”“昔之大成就者，无不六要皆强。盖六要之各边际效果递减之故也。若欲使效果最大，需六要之边际效果等也。”此一句话便是这个问题的答案。